三角函数的积化和差、和差化积公式非常多，不常用的话没必要记，用欧拉公式可以推导出大部分，剩下的再用推导出的结果也能得出。

1 欧拉公式

$$ e^{ix}=cosx+isinx，i=\sqrt {-1} $$

虽然欧拉公式中涉及虚数，但是我们只需要用到该等式中的性质，它左边部分是指数形式，而右边部分是三角函数的二项式，所以有

$$ e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}=cos(a+b)+isin(a+b)=(cosa+isina)(cosb+isinb) $$

上面的等式中，最右边的项展开也可以整理成a+bi的形式，然后把实部和虚部分别对应，即可得到相应的和差化积公式。

2 和差化积

和差化积主要就是利用两个同底带指数的数相乘可以转化成同底指数部分相加，那么相乘的形式可以展开成积，而相加的形式则可以用和差表示。

根据

$$ e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)} $$

可得

$$ \begin{align} cos(a+b)+isin(a+b)&=(cosa+isina)(cosb+isinb) \\ &=cosacosb+icosasinb+isinacosb+iisinasinb \\ &=cosacosb-sinasinb+i(cosasinb+sinacosb) \end{align}$$

把实部和虚部分别对应，可得

$$\begin{align} cos(a+b)=cosacosb-sinasinb \\ sin(a+b)=cosasinb+sinacosb \end{align}$$

而cos(a)+cos(b)可设 $$\begin{align} cosa&=cos(\frac {a+b}{2} + \frac {a-b}{2}) \\ cosb&=cos(\frac {a+b}{2} + \frac {b-a}{2}) \\ \\ \end{align}$$

利用前面的公式展开相加即可得cosa+cosb的结果。

其它的差形式、多倍角形式等同理,有了sin,cos的和差化积公式，tan及cot等变化也可求出。

3 积化和差

积化和差没这么直观，因为已知项在展开式的右边，比如sinacosb这个积，在上面的和差化积展开里面出现了，如果我们再展开一个a-b的积形式，那么4个方程解4个未知数，就可以用和差的方式表示出sinacosb,sinasinb,cosacosb,cosasinb这4个未知量，但是这种方法过于牵强。

积化和差、和差化积，本质上是互逆的两种形式，所以我们可以尝试用 eix 反向的去表示sinx,cosx，然后从eix相应的积中寻找指数部分和差的影子。

因为cosx 是偶函数，sinx是奇函数，令x=-x,有

$$ e^{-ix}=cosx-isinx $$

跟欧拉公式联立，不难得出

$$\begin{align} cosx&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} \\ sinx&=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} \end{align}$$

现在考虑一个积形式cosasinb，推导它的和差形式

$$\begin{align} cosasinb&=\frac{e^{ia}+e^{-ia}}{2}*\frac{e^{ib}-e^{-ib}}{2i} \\ &=\frac{e^{ia}*e^{ib}-e^{ia}*e^{-ib}+e^{-ia}*e^{ib}-e^{-ia}*e^{-ib}}{4i} \\ &=\frac{e^{ia+ib}-e^{ia-ib}+e^{-ia+ib}-e^{-ia-ib}}{4i} \\ &=\frac{e^{i(a+b)}-e^{i(a-b)}+e^{-i(a-b)}-e^{-i(a+b)}}{4i} \\ &=\frac{e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}-(e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)})}{4i} \\ &=\frac{1}{2}(\frac{e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}}{2i} - \frac{(e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)})}{2i}) \end{align}$$

令x=a+b,x=a-b，即可得

$$ \begin{align} cosasinb=\frac{sin(a+b)-sin(a-b)}{2} \end{align}$$

其它的几种积化和差公式同理。

4 半角公式

跟积化和差类似，我们先把半角转化成用eix表示，再找规律

比如

$$ sin\frac{x}{2}=\frac{e^{\frac{ix}{2}}-e^{\frac{-ix}{2}}}{2i} $$

观察上面这个等式，指数部分的系数是1/2，运算起来不方便，两边取平方，得

$$\begin{align} (sin\frac{x}{2})^2&=\frac{e^{ix}+e^{-ix}-2e^{ix}e^{-ix}}{-4} \\ &=\frac{1}{-2}\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}+\frac{1}{2} \\ &=\frac{1}{-2}cosx+\frac{1}{2} \\ &=\frac{1-cosx}{2} \end{align}$$

开方得

$$\begin{align} sin\frac{x}{2}=\pm \sqrt {\frac{1-cosx}{2}} \end{align}$$

其中正负号根据x/2所在的象限判断。